تمارين وحلول 3 - مبادئ في الحسابيات - الجبر - جدع مشترك علوم :

تمرين : 
ليكن x و y عددين صحيحين طبيعيين.
1) بين ان x + y و x - y لهما نفس الزوجية .
2) فكك العدد 28 الى جداء من عوامل اولية ثم حدد جميع القواسم الزوجية للعدد 28 .
ليكن x و y عنصرين من N بحيث 

 3) حدد جميع الاعداد الصحيحة الطبيعية التي تحقق هذه العلاقة.

تصحيح :  
1) لنبين ان x + y و x - y لهما نفس الزوجية . 
الطريقة 1 : 
لدينا

 x + y + x - y = 2x 

نفترض ان  x + y عدد زوجي.
يعني

  x + y = 2k

ولدينا سابقا :

   x - y ) + ( x + y ) = 2x )  

اي

   ( x + y )ا - x - y = 2x     

2x - 2k = 

( x - k )ا 2 = x - y

هذا يعني ان x - y ايضا زوجي. 

نفترض ان  x - y عدد فردي. 
يعني

 1 + x - y = 2k

ولدينا سابقا :

   x - y ) + ( x + y ) = 2x )  

اي

   ( x - y )ا - x + y = 2x     

  ( 1 + 2x - ( 2k = 

  1 - 2x - 2k =  

1 - ( x - k )ا 2 = x + y

هذا يعني ان x + y ايضا فردي.

الطريقة 2 : 
لدينا 

 x + y + x - y = 2x

اذن مجموع العددين هو عدد زوجي. 
اذن العددين هما من نفس الزوجية لانه اذا كان احدهما زوجي والاخر فردي فان المجموع سيكون فردي. 

2) تفكيك العدد 28 الى جداء من عوامل اولية : 

اذن

القواسم الزوجية للعدد 28 هي : 2; 4; 14. 

3) من العلاقة :

نستنتج ان x + y و x - y هما قاسمان للعدد 28. 
وبما ان x + y > x - y  
فان : 

وحسب السؤال رقم 1 فان x + y و x - y لهما نفس الزوجية . 
اذن الحالتين الاولى والثانية غير ممكنتين (لانهما يتكونان من عدد زوجي وعدد فردي : 1 و28 او 4 و 7). 
ومنه نستنتج ان :